CHAPITRE I I I

Dans l’électrolyse d’une solution d’un sel métallique dans laquelle un courant d’intensité i passe pendant le temps t, FARADAY relia tous les résultats obtenus par la loi suivante :

Le rapport 1/F est une constante de proportionnalité identique pour toutes les substances; c’est la constante de FARADAY. ½ z½ est la valeur absolue du nombre de charges portées par l’ion qui réagit à l’électrode.

Le symbole F est appelé le Faraday: c’est la quantité de charge électrique portée par une mole d’ions chargés une fois. Les déterminations les plus précises de F conduisent à la valeur :

L’hypothèse d’AVOGADRO nous assure que le nombre d’atomes dans un atome-gramme est constant et égal à N. L’équation 3.1 montre que :

N atomes	d’une substance monovalente	transportent F
1 atome	d’une substance monovalente	transporte F/N
1 atome	d’une substance divalente	transporte F/2N

On pourrait donc atteindre la charge élémentaire portée par chaque atome monovalent (par exemple) si on avait une valeur précise de N. À l’époque de FARADAY, cette valeur n’était qu’une grossière estimation provenant de la théorie cinétique des gaz. Les mesures de MILLIKAN ont donné une valeur précise de la charge de l’électron; cette valeur a permis ensuite une bonne détermination de N à partir des expériences de FARADAY.

Le phénomène de décharge dans les gaz a été une source fructueuse d’informations sur les particules élémentaires. On s’aperçut rapidement que les rayons cathodiques qui apparaissent aux pressions très faibles provenaient de la cathode et étaient constitués par un faisceau de particules chargées négativement. Une étude quantitative de la déflexion de ces rayons par les champs magnétiques et électriques a été faite par J. J. THOMSON. On sait maintenant que ces rayons sont en réalité des électrons émis par la cathode sous l’effet du bombardement par les ions positifs toujours présents dans le gaz raréfié.

Voyons tout d’abord les informations quantitatives apportées par la déflexion électrique.

Un pinceau d’électrons de charge e et de masse m se déplacent entre les armatures d’un condensateur plan dans lequel le champ électrique (calculable) est E. La longueur du condensateur est L et on observe la fluorescence due aux électrons sur un écran convenable placé à la distance D du centre du condensateur. La force, appelée force coulombienne, exercée sur un électron est dirigée suivant l'axe Oy et a pour valeur :

(Notons que F est opposé à E). Écrivons la relation fondamentale F = m g , x et y étant les coordonnées de l’électron à l’instant t (Fig. 3.1).

v_o est la vitesse initiale de l’électron avant d’entrer dans le condensateur. L’intégration de 3.3 donne :

En effet,

y = 1/2 g t² = - 1/2 e (E/m) t²

et dy/dt = - e (E/m) t

Le faisceau d'électrons arrive horizontalement par la gauche (Fig. 3.1) et traverse une région de l'espace située en les deux plaques d'un condensateur (en rouge sur la figure). Il termine sa course sur un écran (en bleu, à droite de la figure).

Selon l'axe des x, la vitesse

est constante.

l’entrée du faisceau électronique dans le champ électrique créé par les plateaux du condensateur. Cette vitesse augmente puisque les électrons sont accélérés vers la plaque positive. À la sortie du condensateur, les e^- ont atteint l’abscisse y₁ telle que :

puisque L / u_o mesure le temps requis pour traverser le condensateur. Après ce point le faisceau suit une trajectoire rectiligne en prenant la direction de la tangente à la parabole et

Cette équation permet de mesurer le rapport e/m en mesurant d, L, D, E, pourvu que u_o soit connu. La déflexion magnétique va permettre d’éliminer la nécessaire connaissance de u_o : Fig. 3.2.

Le faisceau d’électrons e^- arrive en O. Entre O et B est appliqué un champ magnétique orienté perpendiculairement à OB et de l’arrière vers l’avant (direction Oz). Au déplacement des e^- est associé un courant électrique i de sens opposé à la direction des électrons. La règle des trois doigts de la main droite permet de déterminer la direction de la force qui est appliquée sur le courant électronique (Fig. 3.3).

Le symbole q rprésente l’angle entre la direction de i et celle du champ magnétique. Avec un montage convenable :

Puisque l /t = u_o, la forme de la trajectoire est une portion de cercle, à l’intérieur du champ magnétique ß. En effet, voir la figure 3.4, F = m u² / R pour une trajectoire curviligne où R est le rayon de courbure au point considéré. En faisant l’approximation d’une faible déviation de telle sorte que :

En construisant les systèmes de déflexions magnétique et électrique, on s’arrange pour que les différents paramètres géométriques soient les mêmes (les expériences de déflexion se font dans le même appareil). La relation 3.6 s’écrit :

Ces équations 3.7 et 3.8 permettent de déterminer e/m à partir de quantités mesurables. La valeur admise actuellement est :

On peut également jouer sur la valeur de B pour obtenir une force magnétique exactement égale en valeur absolue mais de sens opposé à la force électrique. Dans ces conditions :

e u B = e E

u = E / B

On obtient ainsi ce que l’on appelle un sélecteur de vitesse. Mais puisque la particule n’est alors soumise à aucune force, sa trajectoire est rectiligne ( ce qui permet d’ajuster visuellement la valeur de B) et son mouvement uniforme :

Seuls les électrons incidents de vitesse initiale u_o ne seront pas déviés. Les électrons qui n’ont pas la vitesse appropriée u_o, seront déviés dans un sens ou dans l’autre. En utilisant un écran percé en son centre, seuls les électrons de vitesse appropriée passeront.

La même méthode appliquée aux rayons canaux permet de déterminer la valeur q / m correspondant à ces particules. Cette valeur est toujours beaucoup plus petite que e / m et dépend du gaz introduit dans l’ampoule. L’examen des résultats montre que les rayons sont constitués par des atomes ou des molécules chargées positivement. Les charges positives sont toujours multiples entiers petits de la charge élémentaire e. Ceci montre bien que la structure particulaire de l’électricité et confirme les hypothèses de FARADAY.

Les expériences historiques de MILLIKAN sur les gouttes ultramicroscopiques d’huile datent de 1909. On doit les considérer comme apportant une preuve complètement indépendante de la précédente de la nature corpusculaire de l’électricité (Fig. 3.5). J. J. THOMSON et H. A. WILSON avaient déjà remarqué que des gouttes microscopiques transportaient des charges électriques. MILLIKAN donna à cette expérience le degré élevé de précision qui permit la mesure de e. Il a choisi l’huile en raison de sa très faible vitesse d’évaporation. Un appareillage très compliqué permet de placer les gouttes ultra microscopiques dans un champ électrique vertical qui peut ralentir leur chute dans l’air, soit arrêter la goutte, soit la faire remonter.

La goutte de masse m, de masse spécifique r placée dans l’air de masse spécifique r_o, s’arrête par action du champ E lorsque la force du champ et la force de la pesanteur s’équilibrent :

On pourrait donc connaître q si l’on connaissait r. Cette dernière quantité n’est pas mesurable directement, mais en mesurant la vitesse limite de chute des gouttes. La vitesse limite, c’est-à-dire le mouvement uniforme, est atteinte lorsque le poids équilibre les forces de frottement. La résultante des forces de frottement dues à un milieu de viscosité, h, sur une sphère de rayon r se déplaçant à la vitesse u est donnée par la loi de STOKES.

La vitesse limite v est atteinte lorsque ces forces équilibrent le poids; donc:

La relation 3.9 permet de déterminer r en mesurant u. Les quantités r, r_o et h sont déterminées séparément. La connaissance de r entraîne la détermination de q.

L’étape suivante consiste à introduire une brève impulsion de rayons X qui ionisent les gouttes en leur arrachant un nombre n₁ d’électrons. La goutte est chargée positivement. En ayant soin de charger négativement le plateau supérieur du condensateur, la goutte alors remonte. La vitesse de montée est telle que :

si t₁ est le temps nécessaire pour que la goutte passe entre les deux repaires séparés par une distance d. On coupe alors le champ électrique. La goutte toujours chargée redescend. On injecte une nouvelle dose de rayons X, une nouvelle charge apparaît et après application du champ électrique, on a alors :

En procédant à plusieurs reprises le cycle décrit ci-dessus, on obtient une valeur très convenable de e. La valeur de e, charge électrique, maintenant admise, est la suivante :

La masse de l’électron que l’on peut déduire de la valeur du rapport e/m est :

Les rayons canaux ont été observés pour la première fois par GOLDSTEIN en 1886. En 1917 WIEN a montré qu’il s’agissait de particules chargées positivement. Ce n’est qu’en 1912 que l’on a pu leur appliquer les méthodes de déflexions électrique et magnétique. On a pu ainsi déterminer la valeur q/m correspondant à ces diversions. En faisant quelques hypothèses simples sur la valeur de q, on peut déterminer la masse de ces ions, donc la masse des divers atomes (ou molécules).

À partir des hypothèses et expériences de FARADAY on détermine ensuite le nombre d’AVOGADRO :

L’historique de la détermination de N est particulièrement bien développée dans le livre de J. PERRIN : "Les Atomes". Enfin, à partir de la valeur de la densité, on peut déterminer le volume des divers atomes (ou molécules).

D’autres méthodes de détermination du volume ne donnent que des résultats grossièrement concordants. Le résultat commun à toutes ces mesures est que le diamètre des atomes est un peu plus grand que 10^-¹⁰m (0,1 nm).

Dans un grand nombre d’expériences, les électrons des rayons cathodiques où les électrons émis par un filament chauffé sont accélérés par une différence de potentiel, dans le but de leur donner de l’énergie cinétique. Cette énergie est ensuite utilisée pour effectuer diverses transformations sur une cible. Il vient immédiatement à l’esprit d’utiliser une unité d’énergie à l’échelle de l’électron. L’électronvolt est la quantité d’énergie cinétique transportée par un électron accéléré par une différence de potentiel de 1 volt. On peut facilement voir que cette énergie vaut :

Plus tard, en physique nucléaire, nous utiliserons le million d’électronvolts (MeV) et le milliard d’électronvolts (ou billion BeV).

De BROGLIE avait montré théoriquement, avant toute vérification expérimentale, que l’on pouvait décrire le mouvement de l’électron, soit en le considérant comme une particule, soit en le considérant comme une onde. La longueur d’onde déduite de ses calculs a la valeur :

Figure 3.7. Expérience de DAVISSON et GERMER.
l.é.: lentilles électromagnétiques; f.: fentes; c.F.: cage de Faraday.

Cette théorie a été vérifiée expérimentalement par les expériences de DAVISSON et GERMER (1927) et ensuite par le grand nombre de conséquences qui en ont été tirées (Fig. 3.7).

Soit un faisceau d’électrons arrivant au voisinage d’un atome avec une direction privilégiée (ici l’axe Ox : figure 3.8). En arrivant dans le nuage électronique, le faisceau électronique le perturbe momentanément et selon le système ondulatoire, avec la même fréquence. Il modifie la répartition des charges électroniques dans ce nuage. Il y a alors émission d’énergie rayonnée par ce nuage et cela dans toutes les directions. Il n’y a donc pas réflexion simple mais plutôt diffusion.

Dans les expériences de DAVISSON et GERMER (Fig. 3.7) un faisceau d’électrons accélérés par une tension inférieure à 100 volts tombait sur un monocristal de nickel pouvant tourner autour d’un axe perpendiculaire au faisceau. On recueillait dans un cylindre de FARADAY les électrons diffusés dans la direction a. La courbe d’intensité du courant électronique en fonction de q présente des maxima et des minima (Fig. 3.9). On ne peut pas plus concevoir ce résultat dans l’hypothèse de l’électron-particule que l’on peut concevoir un tas de billes réfléchissant des billes incidentes dans des directions privilégiées. Nous allons voir que ce phénomène est explicable dans l’hypothèse de l’électron-onde.

Figure 3.10. Première condition de réflexion : les rayons tels que R₁, R₂, etc. correspondant
aux diffractions sur les atomes d’un même plan doivent être en phase.

Figure 3.11. Deuxième condition de réflexion. Les rayons diffractés dans la direction q
par les plans successifs doivent être en phase.

Un monocristal de nickel est un arrangement régulier dans l’espace d’atomes de nickel. Ces atomes sont distribués dans des plans parallèles; on peut trouver plusieurs séries de plans dont l’intervalle d est différent. Considérons l’une des ces séries et supposons qu’une radiation de longueur d’onde l tombe sur ces plans. Cette radiation est diffractée par les atomes dans toutes les directions. Dans une direction q, on reçoit des rayons parallèles diffractés par tous les atomes de tous les plans. Un rayon diffracté aura une intensité appréciable dans la direction q si :

Les rayons en phase sont ceux pour lesquels la différence de marche est égale à un nombre entier de longueur d’onde. Si la différence de marche entre deux rayons consécutifs diffère même d’une quantité très petite l/2n, les rayons que réfléchira le plan atomique (n + 1) seront en opposition de phase avec ceux du plan atomique 1 et, de proche en proche, ils se détruisent complètement par interférence.

La première condition (Fig. 3.10) impose que sur les plans A, A', etc. la diffraction se fasse en suivant les lois de DESCARTES relatives à la réflexion sur un miroir plan. En effet, la différence des deux hauteurs du triangle AMA' représente la différence de marche entre les rayons R₁ et R₂. Elles sont égales lorsque les rayons incidents et diffractés sont symétriques et la différence de marche est nulle. On peut montrer qu’il est impossible d’envisager une autre position pour laquelle on aurait par exemple AH - AH' = l car à la fois AA', AH et AH' doivent être de l’ordre de grandeur de l pour qu’il y ait diffraction.

C’est la fameuse relation de BRAGG utilisée dans tous les problèmes de diffraction et en particulier pour la diffraction des rayons X où elle est abondamment vérifiée. On dira aussi que la réfraction est de premier ordre (d’ordre 1) lorsque n = 1, de second ordre lorsque n = 2, …

Les directions privilégiées dans lesquelles on reçoit des électrons sont celles qui satisfont à la condition de BRAGG. On peut le vérifier quantitativement, et vérifier du même coup l’hypothèse de : DE BROGLIE.

On connaît d par la diffraction des rayons X. On en déduit l en admettant que le plus petit angle q observé correspond à n = 1. On peut ensuite calculer de la façon suivante en admettant que la mécanique classique reste applicable (c’est-à-dire pour des faibles tensions d’accélération V).

Les valeurs calculées et mesurées ont été trouvées en excellent accord. La longueur d’onde est de l’ordre de l’Ångström pour des tensions accélératrices de l’ordre de 100 volts. C’est la raison pour laquelle la diffraction sur les cristaux est possible puisque les distances des plans atomiques sont aussi de l’ordre de l’Ångström (10^-¹⁰ m ou 0,1 nm).

Les expériences de diffraction ont été effectuées depuis avec d’autres particules élémentaires, protons, atomes, molécules ont été utilisés. La formule de DE BROGLIE est donc extrêmement générale et montre que lorsque les dimensions des masses en mouvement deviennent extrêmement petites la mécanique classique n’est plus applicable. La mécanique ondulatoire a remplacé la mécanique classique pour décrire le mouvement des particules élémentaires.

Supposons en effet qu’un électron pénètre dans l’espace occupé par un atome (inclus dans une molécule ou dans un réseau cristallin). Puisque l’espace occupé par l’atome est essentiellement constitué de vide, l’électron incident à une probabilité extrêmement faible de rentrer physiquement en collision avec une autre particule. Ce type d’interaction peut donc ici être ignoré. Par contre, à chaque électron en mouvement est associé un champ électrique et un champ magnétique. Les interactions à travers ces champs peuvent avoir lieu à grande distance (grande devant le rayon de l’électron). C’est donc à travers ces champs que les électrons vont échanger de l’énergie. Il est donc tout naturel de faire intervenir ici l’onde électromagnétique associée à l’électron (la nature ondulatoire des particules) pour apprécier quantitativement ces échanges.

Si, dans les expériences du type de celles de DAVISSON et GERMER, la tension accélératrice dépasse 10 000 volts on ne peut plus expliquer les résultats expérimentaux sans faire intervenir la correction de relativité.

De nombreux ouvrages traitent de la théorie de la relativité, soit à l’aide de raisonnements rigoureux, soit au moyen d’images concrètes. Il est conseillé de lire un exemple de chacun de ces deux points de vue. Deux principes énoncés par EINSTEIN en 1905 sont à la base de cette théorie :

Les conséquences de ces hypothèses sont nombreuses et nous les admettons. En particulier EINSTEIN a montré que la masse m d’un corps quelconque animé d’un mouvement rectiligne uniforme de vitesse u est plus grande que la masse au repos m_o :

Aux vitesses de notre vie quotidienne u²/c² est négligeable devant l’unité et la variation de masse est très au-dessous de ce que l’on peut mesurer. Par contre, si l’on mesure la valeur e/m correspondant à des électrons accélérés par une différence de potentiel de 80 kV (vitesse l,5 l0⁸ m/s) on trouve une valeur environ l/8 plus petite que la valeur standard. Le développement en série de la formule d’EINSTEIN, 3.12, donne en ne conservant que les deux premiers termes :

Dans l’exemple ci-dessus la vitesse des électrons est la moitié de la vitesse de la lumière, donc :

De même, dans tous les cas où l’expérience de diffraction d’électrons a été faite avec les électrons rapides, l’introduction de la masse relativiste dans la formule de DE BROGLIE, a toujours expliqué complètement les résultats. Une autre conséquence importante de la théorie de la relativité est l’équivalence de la masse et de l’énergie donnée par la relation :

L’équation 3.14 contient cette équivalence, tout au moins en ce qui concerne l’énergie cinétique. Elle peut en effet s’écrire :

Le produit1/2 m_ou² est approximativement la variation d’énergie cinétique E_C ( si on néglige la variation de masse) lorsque l’électron passe de la vitesse 0 à la vitesse u. Donc :

La relation 3.14 généralise cette propriété à une forme quelconque de l’énergie.

7.3b	Calculer le nombre de charges portées par la goutte lors de la première montée.
	Réponse : 5.

7.3c	Comparer le rapport de la charge avec la masse de la goutte dans le cas de la première montée avec le rapport e/m pour 1 électron.

7.5	Dans un sélecteur de vitesse, une tension de 240 volts est appliquée entre des plaques distantes de 0,020 m, ainsi qu’un champ magnétique de 0,012 Wb/m². Quelle sera la vitesse des électrons qui ne subissent aucune déflexion? Quelle sera l’importance de la variation relativiste de la masse de ces électrons?
	Réponse : u = 106 m/s.

7.6	Calculer la longueur d’onde associée à:
	1- un électron voyageant à la vitesse de 1 10⁷ m/s.
	2- une molécule d’hydrogène dans des conditions normales de pression et de température : u = 1 770 m·s^-¹.
	3- une voiture de course pesant 500 kg et roulant à la vitesse de 280 km/h.

7.7	Dans une expérience de diffraction de rayons X, à quels angles q observera-t-on les diffractions du premier et du second ordre pour les plans séparés de 0,315 nm. La longueur d’onde des rayons X utilisés est de 0,1537 nm.
	Rép.: n = 1, q = 14,12°

7.8

En supposant qu’un neutron, dans des conditions particulières, se transforme en un proton et un électron, quelle sera l’énergie libérée par cette réaction? On suppose disposer d’une mole de neutrons et chaque particule est considérée au repos. On sait que les masses du neutron et du proton sont, respectivement, 1,674 70 et 1,672 39 10^-²⁴g.

7.9	Un faisceau d’électrons au repos est soumis à un potentiel accélérateur, DV, de 1 000, 10 000, 100 000 et de 1 000 000 volts. Soient u_o et u les vitesses non-relativiste et relativiste de ces électrons ainsi que m_o et m leur masse au repos et en mouvement. Calculez,
	1- en fonction de e, DV et de la vitesse de la lumière le rapport u/u_o.
	2- les rapports u/u_o pour chacune des valeurs du potentiel.
	Rép. : u/u_o = 0,58 sous 1 000 000 volts.

7.10	Calculez l’énergie équivalente à la masse d’un électron. Faire le même calcul pour un proton.

On trouvera aisément sur le web les biographies de plusieurs scientifiques mentionnés dans ce chapitre, en particulier ceux qui ont reçu un prix Nobel.

7.1	Une bille de densité égale à 2,20 g/cm³ en chute libre dans l’air voyage à une vitesse de 1,40 m/s. La viscosité de l’air est de 1,80 10^-⁵ Pa·s. En utilisant la loi de STOKES, trouver le rayon de la particule.
	Réponse : r = 72,5 m


7.2	En supposant que la viscosité de l’air est de 1,83 10^-⁵ Pa·s, calculez la vitesse limite d’une goutte d’eau de 0,40 mm de rayon. En supposant qu’il fait un vent horizontal de 13,4 m/s, quel sera l’angle de tombée de la goutte avec la verticale?

3.2
3.3